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如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=
3
，EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當AB的長為何值時，二面角A-EF-C的大小為45°？
如圖，以點C為坐標原點，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標系
設AB=a，BE=b，CF=c，（b＜c）
則C(0，0，0)，A(
3
，0，a)，B(
3
，0，0)，E(
3
，b，0)，
F（0，c，0），D（0，0，a）（2分）
（I）
DA
=(
3
，0，0)，
CB
=(
3
，0，0)，
FE
=(
3
，b-c，0)，
由|
FE
|=2，得3+（b-c）2=4，∴b-c=-1．
所以
FE
=(
3
，-1，0)．
所以cos＜
DA
，
FE
＞=
DA
•
FE
|
DA
|•|
FE
|
=
3
3
×2
=
3
2
，
所以異面直線AD與EF成30°
（II）設
n
=(1，y，z)為平面AEF的法向量，則
n
•
AE
=0，
n
•
EF
=0，
結合|
BC
|2+|
BE
|2=|
CF
|2-|
EF
|2，
解得
n
=(1，
3
，
3
3
a
)．（8分）
又因為BA⊥平面BEFC，
BA
=(0，0，a)，
所以cos＜
n
，
BA
＞
n
•
BA
|
n
|•|
BA
|
=
3
3
a
a
4a2+27
=
2
2
，
得到a=
3
3
2
．
所以當AB為
3
3
2
時，二面角A-EF-C的大小為45°．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知點O在二面角α-AB-β的棱上，點P在α內，且∠POB=45°．若對于β內異于O的任意一點Q，都有∠POQ≥45°，則二面角α-AB-β的取值范圍是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

在三棱錐S-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=
2
，SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是
3
3
，若S、A、B、C都在同一球面上，則該球的表面積是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，二面角α-l-β的棱l上有兩點B、C，AB⊥l，CD⊥l，且AB⊆α，CD⊆β，若AB=CD=BC=2，AD=4，則此二面角的大小為______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=1，點P在平面BCC1B1內，PB1=PC1=
2
．
（1）求證：PA1⊥BC；
（2）求二面角C1-PA1-A．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD=∠CDA=90°，AB=AD=DE=
1
2
CD，M是線段AE上的動點．
（Ⅰ）試確定點M的位置，使AC∥平面DMF，并說明理由；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求平面DMF與平面ABCD所成銳二面角的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在幾何體ABCDE中，AB=AD=BC=DC=2，AE=2
2
，AB⊥AD，且AE⊥平面ABD，平面CBD⊥平面ABD．
（Ⅰ）求證：AB∥平面CDE；
（Ⅱ）求二面角A-EC-D的余弦值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線A1B與AC所成的角是______°．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

設m、n表示不同直線，α、β表示不同平面，則下列結論中正確的是(　　)
A．若m∥α，m∥n，則n∥α
B．若m?α，n?β，m∥β，n∥α，則α∥β
C．若α∥β，m∥α，m∥n，則n∥β
D．若α∥β，m∥α，n∥m，n?β，則n∥β

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同步練習冊答案
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