Question

圓O₁的方程為x²+(y+1)²=4,圓O₂的圓心為O₂(2,1).

(1)若⊙O₂與⊙O₁外切,求圓O₂的方程,并求內公切線方程;

(2)若⊙O₂與⊙O₁交于A、B兩點,且|AB|=2,求⊙O₂的方程.

Answer 1

(1)兩圓內公切線的方程為x+y+1-2=0.

(2)⊙O₂的方程為(x-2)²+(y-1)²=4或(x-2)²+(y-1)²=20.

解析:

(1)由兩圓外切,所以|O₁O₂|=r₁+r₂.

所以r₂=|O₁O₂|-r₁=2(-1).

故圓O₂的方程是(x-2)²+(y-1)²=4(-1)².

兩圓方程相減,即得兩圓內公切線的方程為x+y+1-2=0.

(2)設圓O₂的方程為(x-2)²+(y-1)²=r₂².

因為圓O₁的方程為x²+(y+1)²=4,

所以兩圓公共弦AB所在直線方程為4x+4y+r₂²-8=0.

作O₁H⊥AB,則|AH|=|AB|=,

在Rt△AO₁H中,

|O₁H|==,

由圓心O₁到AB的距離d==,

所以r₂²=4或r₂²=20.

所以⊙O₂的方程為(x-2)²+(y-1)²=4或(x-2)²+(y-1)²=20.