Question

如圖，在底面邊長為1，側棱長為2的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是側棱CC₁上的一點，CP=m。
（1）試確定m，使直線AP與平面BDD₁B₁所成角為60°；
（2）在線段A₁C上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D₁Q⊥AP，并證明你的結論。

Answer 1

解：（1）建立如圖所示的空間直角坐標系， 則A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)， D(0，0，0)，B1(1，1，1)，D1(0，0，2)， 所以，  又由知為平面的一個法向量， 設AP與面所成的角為θ， 則，， 解得：， 故當時，直線AP與平面所成角為60°。
（2）若在A1C1上存在這樣的點Q，設此點的橫坐標為x， 則， 依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP， 等價于  ， 即Q為A1C1的中點時，滿足題設的要求。