(2007
北京朝陽模擬)如下圖，棱長為1的正四面體ABCD中，E、F分別是棱AD、CD的中點，D是點A在平面BCD內的射影．(1)
求直線EF與直線BC所成角的大��；(2)
求點O到平面ACD的距離；(3)
求二面角A－BE－F的大�。�
|
解析： (1)因為E、F分別是棱AD、CD的中點．所以EF∥AC．所以∠ BCA是EF與BC所成角．∵正四面體 ABCD，∴△ABC為正三角形，所以∠ BCA=60°．即 EF與BC所成角的大小是60°．(2) 如圖，連結AO，AF，因為F是CD的中點，且△ACD，△BCD均為正三角形，所以 BF⊥CD，AF⊥CD．因為  ，所以CD⊥面AFB．
因為  面ACD．所以面AFB⊥面ACD．
因為 ABCD是正四面體，且O是點A在面BCD內的射影，所以點O必在正三角形BCD的中線BF上．在面 ABF中，過O做OG⊥AF，垂足為G．所以OG⊥面ACD．即 OG的長為點O到面ACD的距離．因為正四面體 ABCD的棱長為1，在△ ABF中，容易求出 ，
因為△ AOF∽△OGF，故由相似比易求出 ．
所以點 O到平面ACD的距離是 ．
(3) 設△ABD中，AB邊的中線交BE于H，連結CH，則由ABCD為正四面體知CH⊥面ABD．設 HD的中點為K，則FK∥CH．所以FK⊥面ABD．在面 ABD內，過點K作KN∥AD，KN交BE于M，交AB于N，因為 BE⊥AD，所以NM⊥BE．連結 FM，所以FM⊥BE．所以∠ NMF是所求二面角的平面角．
因為  ，
所以  ．
所以  ．
所以所求二面角的大小為 
( 或者由正四面體的對稱性，可轉求二面角 的大小)． |
科目：高中數學 來源： 題型：022
(2007
北京朝陽模擬)將正奇數劃分成下列組：(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13，15，17，19)，…，則第n組各數的和是________，第n組的第一個數可以表示為_________．查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：044
(2007
北京朝陽模擬)已知
(a≠0)是定義在R上的函數，其圖象交x軸于A、B、C三點．若點B的坐標為(2，0)，且f(x)在[－1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．
(1)
求c的值；(2)
在函數f(x)的圖象上是否存在一點
使得f(x)在點M處的切線斜率為3b?若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)
求|AC|的取值范圍．查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：044
(2007
北京朝陽模擬)已知O為坐標原點，點E、F的坐標分別為(－1，0)、(1，0)，動點A、M、N滿足
(m＞1)，
，
．
(1)
求點M的軌跡W的方程；(2)
點
在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點Q，且
，若1≤λ≤2，求實數m的范圍．查看答案和解析>>
科目：高中數學 來源： 題型：044
(2007
北京朝陽模擬)已知向量
，
，動點M到定直線y=1的距離等于d，并且滿足
，其中O為坐標原點，k為參數．
(1)
求動點M的軌跡方程，并判斷曲線類型；(2)
如果動點M的軌跡是一條圓錐曲線，其離心率e滿足
，求實數k的取值范圍．查看答案和解析>>
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且不等式
的解集是(－∞，－2]∪[0，2]，則實數a的值是_________．