Question

在平面直角坐標系中，有一點P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n），…對于每一個正整數n，點P_n在函數y=log₃（2x）的圖象上，又等差數列{a_n}的首項a₁=

1

2

，公差d=1．
（Ⅰ）求數列{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）記c_n=3^bn+2ⁿ（n∈N₊），求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）易求a_n，再由P_n在函數y=log₃（2x）的圖象上，可得b_n=log₃（2a_n）；
（Ⅱ）表示出c_n，利用分組求和可得S_n．

解答：解：（Ⅰ）由{a_n}的首項a₁=

1

2

，公差d=1，得an=

1

2

+(n-1)•1=n-

1

2

，
∵點P_n在函數y=log₃（2x）的圖象上，
∴b_n=log₃（2a_n）=log₃（2n-1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得c_n=3^bn+2ⁿ=3log3(2n-1)+2n=2n-1+2ⁿ，
∴S_n=（1+2）+（3+2²）+…+[（2n-1）+2ⁿ]
=[1+3+…+（2n-1）]+（2+2²+…+2ⁿ）
=

n•2n

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2．

點評：本題考查等差數列的通項公式、數列求和，考查學生的運算求解能力，屬中檔題．