Question

【題目】已知函數，，對于任意的，總存在，使得成立，則實數的取值范圍是_______.

Answer 1

【答案】

【解析】

先求出函數f（x）的值域A，設函數g（x）的值域為B，討論m的取值，求出g（x）的值域，根據題意，有AB，由數集的概念，求出m的取值范圍．

∵函數f（x）＝2x＝2（x+2）+2＝3，

∴當x∈[﹣2，2]時，2≤f（x）≤3，

∴f（x）的值域是[2，3]；

又當x∈[﹣2，2]時，

①若m＜﹣2，則g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是增函數，最小值g（﹣2）＝9m+2，最大值g（2）＝m+2；

∴g（x）的值域是[9m+2，m+2]，

∴[2，3][9m+2，m+2]，

即，解得﹣1≤m≤0，此時無解；

②若m＞2，則g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是減函數，最小值g（2）＝m+2，最大值g（﹣2）＝9m+2；

∴g（x）的值域是[m+2，9m+2]，

∴[2，3][m+2，9m+2]，

即，解得m≤0，此時無解；

③若﹣2≤m≤2，則g（x）＝x2﹣2mx+5m﹣2在[﹣2，2]上是先減后增的函數，

最小值是g（m）＝﹣m2+5m﹣2，最大值是max{g（﹣2），g（2）}＝max{9m+2，3m+2}；

∴當m≥0時，g（x）的值域是[﹣m2+5m﹣2，9m+2]，

∴[2，3][﹣m2+5m﹣2，9m+2]，

即，

解得m≤1，或m≥4（不符合條件，舍去）；

則取m≤1；

當m＜0時，g（x）的值域是[﹣m2+5m﹣2，m+2]，

∴[2，3][﹣m2+5m﹣2，m+2]，

即；

解得m＝1，或m≥4，不符合條件，舍去；

綜上知，實數m的取值范圍是：[，1]．

故答案為：[，1]．