Question

已知函數．若實數a、b使得f（x）=0有實根，則a²+b²的最小值為（ ）
A．
B．
C．1
D．2

Answer 1

【答案】分析：先整理函數方程解析式，設x+=t進而可知t的范圍，要使f（x）=0有實根需判別式大于等于0且小根小于-2或大根大于2，進而根據韋達定理確定a和b的范圍，求得f（t）=t²+at+b-2=0的，根據t的范圍確定：±=2t+a≥ta+b+k²-2=0則a²+b²的最小值即為原點到該直線的距離的平方，進而根據d（t）的范圍求得a²+b²的最小值．
解答：解：=（x+）2+a（x+）+b-2
設x+=t，則t≥2或t≤-2
則有f（t）=t²+at+b-2
∵t²+at+b-2=0有實根，
∴△=a²-4（b-2）≥0，且小根小于-2或大根大于2
∴|a|≥4或|a|≤4且b≤6
f（t）=t²+at+b-2=0的解為t=-（a±），則|t|≥2．
將此方程作為關于a、b的方程，化簡得：±=2t+a≥ta+b+k²-2=0
則a²+b²的最小值即為原點到該直線的距離的平方，
得d（t）=≥d²（t）=t²-5+≥d²（t）min=，當|t|=2時，等號成立．
故選A
點評：本題主要考查了方程與函數的綜合運用．解題的關鍵利用了數形結合的方法，把a²+b²的最小值看做原點到該直線的距離的平方．