Question

設當x≤1時，函數y=4^x-2^x+1+2的值域為D，且當x∈D時，恒有f（x）=x²+kx+5≤4x，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：根據題意，函數y=4^x-2^x+1+2以2x為單位，通過討論二次函數的方法得出其值域D為[1，2]，從而f（x）=x²+kx+5≤4x在區間[1，2]上恒成立．接下來有兩種思路解決本題：
①將不等式移項得x²（k-4）x+5≤0當x∈[1，2]時恒成立，利用二次函數的最大值小于0列式，從而求出實數k的取值范圍．②參數分離，變為k≤-(x+

5

x

)+4當x∈[1，2]時恒成立，從而k小于或等于右邊的最小值，求出實數k的取值范圍．

解答：解：令t=2^x，由于x≤1，則t∈（0，2]
則原函數y=t²-2t+2=（t-1）²+1∈[1，2]，即D=[1，2]
由題意：f（x）=x²+kx+5≤4x，
法一：則x²（k-4）x+5≤0當x∈D時恒成立
∴

1+(k-4)+5≤0 22+(k-4)2+5≤0

∴

k≤-2 k≤- 1 2

∴k≤-2
法二：則k≤-(x+

5

x

)+4在x∈D時恒成立，故k≤[-(x+

5

x

)+4]min=-2

點評：本題考查了指數型復合函數的性質及應用、函數恒成立以及二次函數性質等等知識點，屬于中檔題．解題時請注意轉化化歸思路與變量分離等常用數學手段的運用．