Question

設定義在R上的函數(shù)f(x)=a0x4+a1x3+a2x+a3（a₀，a₁，a₂，a₃∈R），當x=-1時，f（x）取極大值

2

3

，且函數(shù)y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）試在函數(shù)y=f（x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在[-

2

，

2

]上；
（Ⅲ）設xn∈[

1

2

，1)，ym∈(-

2

，-

2

3

2

]，求證：|f(xn)-f(ym)|＜

4

3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即f（x）是奇函數(shù)，可得f(x)=a1x3+a2x，根據(jù)當x=-1時，f（x）取極大值

2

3

，建立方程組，即可求得函數(shù)的不等式；
（ II）設所求兩點為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[[-

2

，

2

]，利用兩點為切點的切線互相垂直即可求得點的坐標；
（III）確定f（y_m）的最大值，f（x_n）的最小值，即可證得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即f（x）是奇函數(shù)，所以f(x)=a1x3+a2x．
由題意當x=-1時，f（x）取極大值

2

3

，得

f′(-1)=3a1+a2=0 f(-1)=-a1-a2= 2 3

，所以

a1= 1 3 a2=-1

，f(x)=

1

3

x3-x．
所以，所求f(x)=

1

3

x3-x．…（4分）
（ II）解：f'（x）=x²-1．設所求兩點為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[[-

2

，

2

]，得f′(x1)f′(x2)=(

x

2 1

-1)(

x

2 2

-1)=-1
因為

x

2 1

-1，

x

2 2

-1∈[-1，1]，所以

x 2 1 -1=-1 x 2 2 -1=1

或

x 2 1 -1=1 x 2 2 -1=-1

即x₁=0，x₂=±

2

或x₁=±

2

，x₂=0
從而可得所求兩點的坐標為：（0，0），(

2

，-

2

3

)或者（0，0），(-

2

，

2

3

)．…（8分）
（III）證明：xn∈[

1

2

，1)，當x∈[

1

2

，1)時，f'（x）＜0，即在[

1

2

，1)上遞減，得f(xn)∈(f(1)，f(

1

2

)]，即f(xn)∈(-

2

3

，-

11

24

]．
∵ym∈(-

2

，-

2

3

2

]，由導數(shù)可得f(ym)∈(f(-

2

)，f(-1)]，即f(ym)∈(

2

3

，

2

3

]，
所以|f(xn)-f(ym)|=f(ym)-f(xn)＜

2

3

-(-

2

3

)=

4

3

…（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的最值，考查不等式的證明，正確求導，確定函數(shù)的最值是關鍵．