Question

設關于x的方程x²-mx-1=0有兩個實根α，β，且α＜β．定義函數
（1）當α=-1，β=1時，判斷f（x）在R上的單調性，并加以證明；
（2）求αf（α）+βf（β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據韋達定理，由α=-1，β=1，可求出m值，進而求出函數f（x）的解析式，根據函數單調性的定義可得答案．
（2）由α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根，根據韋達定理可得，代入分別求出f（α），f（β）的值，進而可求αf（α）+βf（β）的值．
解答：解：（1）∵α=-1，β=1，
由韋達定理可得：m=α+β=0
∴------（2分）
設x₁＜x₂，

∵（x₂-x₁）＞0，
當x₂，x₁＞1時，（1-x₁x₂）＜0，此時f（x₂）-f（x₁）＜0，函數為減函數，
當-1＜x₂，x₁＜1時，（1-x₁x₂）＞0，此時，函數為增函數，
當x₂，x₁＜-1時，（1-x₁x₂）＜0，此時，函數為減函數，（9分）
（2）∵α，β是方程x²-mx-1=0的兩個實根，
∴．
∴===，
同理f（β）=，
∴αf（α）+βf（β）=α•+β•=1+1=2．（13分）
點評：本題考查的知識點是二次函數的圖象和性質，函數的單調性的判斷與證明，一元二次方程根與系數的關系（韋達定理），熟練掌握一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）是解答的關鍵．