Question

如圖，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，交BC的延長線于點D，延長DA交△ABC的外接圓于點F，連接FB，FC．
（1）求證：FB=FC；
（2）求證：FB²=FA•FD；
（3）若AB是△ABC外接圓的直徑，且∠EAC=120°，BC=6，求AD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）兩線段在同一個三角形中，故可以用證兩底角相等，通過等邊對等角來證兩邊相等；
（2）由圖形知，可以證明△FBA∽△FDB，由于角BFD是公共角，再證明角FAB與角FBD相等即可證出兩三角形相似；
（3）由題設條件可求得三角形ABC與三角形ACD的內角，又此兩三角形都是直角三角形，故可借助直角三角形中的相關知識求AD的長．
解答：解：（1）因為∠EAC=∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠BCF+∠ACF=∠ABC+∠BCF+∠ABF=∠BCF+∠FBC
又∠EAC=2∠FAB=2∠BCF
所以∠FCB=∠FBC，
所以FB=FC，（3分）
（2）因為在△FBA∽△FDB中，∠BFD是公共角，
由于同弦所對的圓周角相等，故∠FAB等于∠FCB，又由（1）∠FCB=∠FBC
故可得∠FBC=∠FAB
所以△FBA∽△FDB，所以，整理得FB²=FA•FD（6分）
（3）∠EAC=120°，所以∠BAC=60°
因為AB為直徑，所以∠ACB=90°，
∴∠ABC=30°，
又∠DAC=60°，∠ACD=90°，可得∠ADC=30°
在直角三角形ABC中，由于BC=6，所以AC=
在直角三角形ADC中，可得（10分）
點評：本題考點是與圓有關的比例線段，考查圓中同弦所對的圓周角相等及切割線定理以及直角三角形中邊角的轉化，此類題對思維靈活性要求較高，需要答題者熟悉題設條件與相關圖形的結構，然后組合出解決問題的方案，解題時注意體會本題的這一特征，此也是幾何證明題共有的特征．