Question

下列函數中：（1）y=|x+

1

x

|（2）y=

x2+5

x2+4

（3）y=

x

+

4

x

-2（4）y=

x2-2x+4

x

，其中最小值為2的函數是

（1）、（3）

（填正確命題的序號）

Answer 1

分析：（1）由y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|，利用基本不等式可求
（2）y=

x2+5

x2+4

=

x2+4+1

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

，結合函數的 單調性可求
（3）當x＞0（4）y=

x2-2x+4

x

，y=

x

+

4

x

-2利用基本不等式可求
（4）當x＜0時，y=

x2-2x+4

x

=x+

4

x

-2不滿足題意

解答：解：（1）∵y=|x+

1

x

|=|x|+|

1

x

|≥2，即函數的最小值為2
（2）y=

x2+5

x2+4

=

x2+4+1

x2+4

=

x2+4

+

1

x2+4

令m=

x2+4

，則m≥2，y=m+

1

m

在[2，+∞）單調遞增，即m=2時函數有最小值

5

2

（3）當x＞0（4）y=

x2-2x+4

x

，y=

x

+

4

x

-2≥2

4 x • x

-2=2，當且僅當

x

=

4

x

即x=4時取等號，即函數的最小值2
（4）當x＞0時，y=

x2-2x+4

x

=x+

4

x

-2≥2，但是當x＜0時，不滿足題意
故答案為：（1）（3）

點評：本題主要考查了基本不等式求解函數最值的應用，解題的關鍵是判斷基本不等式的應用條件．