Question

求過直線2x+y+4=0和圓x²+y²+2x-4y+1=0的交點,且面積最小的圓的方程.

Answer 1

思路分析一:由平面幾何知識可知:通過兩個定點的動圓中面積最小的是以此兩定點為一直徑端點的圓.于是得到如下解法.

解法一:解方程組

得交點A(-)、B(-3,2).

從而圓的圓心坐標為(-),半徑為|AB|=.

因此所求圓的方程為(x+)²+(y-)²=.

思路分析二:運用過交點的曲線系方程,并借助于不等式的知識,來確定參數(shù)的值而達到目的.

解法二:設過直線與圓的交點的圓系方程為x²+y²+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,則(x+λ+1)²+(y+

)²=λ²-4λ+4.要使圓的面積最小必須半徑r最小,由r=≥知,當且僅當λ=時,r最小.

故所求的圓方程為(x+)²+(y-)²=.