Question

已知方向向量為v=（1，）的直線l過點（0，-2）和橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）是否存在過點E（-2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足•=．cot∠MON≠0（O為原點）．若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）解法一：直線l：y=x-2，過原點垂直l的直線方程為y=-x，這兩個方程聯立可知x=．再由橢圓中心（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，可知=3．由此可以求出橢圓C的方程．
解法二：直線l：y=x-3．設原點關于直線l對稱點為（p，q），則解得p=3．由橢圓中心（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，知=3．由此能夠推出橢圓C的方程．
（II）解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．當直線m不垂直x軸時，直線m：y=k（x+2）代入+=1，整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，再由根與系數的關系和點到直線 的距離求解．
解答：解：（I）解法一：直線l：y=x-2，①
過原點垂直l的直線方程為y=-x，②
解①②得x=．
∵橢圓中心（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，∴=2×=3．
∵直線l過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故橢圓C的方程為+=1③
解法二：直線l：y=x-3．
設原點關于直線l對稱點為（p，q），則解得p=3．
∵橢圓中心（0，0）關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上，∴=3．
∵直線l過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）．∴c=2，a²=6，b²=2．故橢圓C的方程為+=1③

（II）解：設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
當直線m不垂直x軸時，直線m：y=k（x+2）代入③，
整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
∴x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
|MN|===，
點O到直線MN的距離d=．
∵•=cot∠MON，即||•||cos∠MON=≠0，
∴||•||sin∠MON=4，∴S_△OMN=．∴|MN|•d=，
即4|k|=（3k²+1），
整理得k²=，∴k=±．
當直線m垂直x軸時，也滿足S_△OMN=．
故直線m的方程為y=x+，或y=-x-，或x=-2．
經檢驗上述直線均滿足•≠0．
所以所求直線方程為y=x+，或y=-x-，或x=-2．
點評：本題綜合考查直線的橢圓的位置關系，具有一定的難度，解題時要注意培養運算能力．