Question

已知方向向量為

v

=(1，

3

)的直線(xiàn)l過(guò)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點(diǎn)以及點(diǎn)（0，-2

3

），橢圓C的中心關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上．
（1）求橢圓C的方程．
（2）是否存在過(guò)點(diǎn)E（-2，0）的直線(xiàn)m交橢圓C于點(diǎn)M、N，使△MON的面積為

2

3

6

，（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，求出直線(xiàn)m的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上，及直線(xiàn)l過(guò)橢圓焦點(diǎn)，確定幾何量，即可求得橢圓C的方程；
（2）分類(lèi)討論，利用韋達(dá)定理，結(jié)合△MON的面積為

2

3

6

，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）直線(xiàn)l：y=

3

x-2

3

 ①，過(guò)原點(diǎn)垂直于l的直線(xiàn)方程為y=-

3

3

x ②
解①②得x=

3

2

．
∵橢圓中心O（0，0）關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C的右準(zhǔn)線(xiàn)上，
∴

a2

c

=2×

3

2

=3，…（3分）
∵直線(xiàn)l過(guò)橢圓焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴c=2，a²=6，b²=2，故橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1 ③…（6分）
（2）當(dāng)直線(xiàn)m的斜率存在時(shí)，設(shè)m：y=k（x+2）代入③并整理得（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

12k2

3k2+1

，x₁x₂=

12k2-6

3k2+1

…（8分）
∴|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=

2 6 • 1+k2

3k2+1

，…（10分）
點(diǎn)O到直線(xiàn)m的距離d=

|2k|

1+k2

，…（11分）
∵△MON的面積為

2

3

6

，∴

2 6 • 1+k2

3k2+1

•

|2k|

1+k2

=

4

3

6

∴k=±

3

3

，此時(shí)m：y=±

3

3

(x+2)…（13分）
當(dāng)直線(xiàn)m的斜率不存在時(shí)，m：x=-2，也有△MON的面積為

2

3

6

；
故存在直線(xiàn)m滿(mǎn)足題意，其方程為x±

3

y+2=0或x=-2．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查三角形面積的計(jì)算，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．