Question

如圖，A、B、C分別為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的頂點與焦點，若∠ABC=90°，則該橢圓的離心率為（　　）

• A、

  -1+ 5

  2

• B、1-

  2

  2

• C、

  2

  -1
• D、

  2

  2

Answer 1

分析：由題意知|AC|²=|AB|²+|BC|²，即（a+c）²=a²+2b²+c²，由此可以推導出該橢圓的離心率．

解答：解：|AB|²=a²+b²，|BC|²=b²+c²，
|AC|²=（a+c）²．
∵∠ABC=90°，
∴|AC|²=|AB|²+|BC|²，即（a+c）²=a²+2b²+c²，
∴2ac=2b²，即b²=aC、
∴a²-c²=aC、
∴

a

c

-

c

a

=1，即

1

e

-e=1．
解之得e=

-1± 5

2

，又∵e＞0，
∴e=

-1+ 5

2

．
故選A．

點評：本題考查橢圓的基本性質，解題時結合圖形效果較好．