Question

方程

1

x-1

=2sin(πx)在區間[-2010，2012]所有根之和等于

4 020

．

Answer 1

分析：設 f（x）=

1

x-1

，g（x）=2sinπx，此題是求以上兩個函數的交點的橫坐標的和的問題．從x=2開始，在每個周期上，f（x） 和 g（x）都有兩個交點，在區間[2，2012]上，函數g（x） 共有1015個周期，因此和函數f（x）有2010個交點，因此在區間[-2010，0]上也有2010個交點．m是兩個函數的一個交點的橫坐標，則2-m也是兩個函數的一個交點的橫坐標，因為一共有2010對這樣的交點，故所有根之和等于2×2010=4020．

解答：解：設 f（x）=

1

x-1

，g（x）=2sinπx，此題是求以上兩個函數的交點的橫坐標的和的問題．
顯然，以上兩個函數都關于點（1，0）成中心對稱．
函數f（x）的值域為（-∞，0）∪（0，+∞），定義域為{x|x≠1}，
函數g（x） 的值域為[-2，2]，定義域為R，最小正周期為2．
在區間[0，2]上，兩個函數無交點，應用介值定理，可以得到第一個交點x₀∈[2，

9

4

]．
從x=2開始，在每個周期上，f（x） 和 g（x）都有兩個交點，相對應的，在區間[-2010，0]上，
兩個函數有和區間[2，2012]上相同多的交點．
在區間[2，2012]上，函數g（x） 共有1005個周期，因此和函數f（x）有2010個交點，
因此在區間[-2010，0]上也有2010個交點，
且對每一個交點，相對于（1，0）中心對稱的點也是兩個函數的交點．
而每對這樣的交點之和為2，即若m是兩個函數的一個交點的橫坐標，則2-m也是兩個函數的一個交點的橫坐標，
因為一共有2010對這樣的交點．
所以，在區間[-2010，2012]上，兩個函數所有交點的橫坐標的和為2010×2=4020．

點評：本題考查了根的存在性及根的個數判斷，以及函數與方程的思想，屬于中檔題．