Question

已知函數f(x)=

sin2x-cos2x+1

2sinx

（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）求f（x）的值域；
（Ⅲ）設α的銳角，且tan

α

2

=

1

2

，求f（α）的值．

Answer 1

分析：（I）要使函數有意義需2sinx≠0，進而求得x的范圍，確定函數的定義域．
（II）利用二倍角公式對函數f（x）的解析式化簡整理，進而根據正弦函數的性質確定函數f（x）的值域．
（III）先利用二倍角公式，通過tan

α

2

=

1

2

，求得tanα，進而利用同角三角函數基本關系求得sinα和cosα，進而求得f（α）的值．

解答：解：（I）由2sinx≠0，
得x≠kπ，（k∈Z），
所以f（x）的定義域為{x|x≠kπ，k∈Z}．
（II）當x≠kπ，（k∈Z）時
f(x)=

sin2x-cos2x+1

2sinx

=

2sinxcosx+2sin2x

2sinx

=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
所以f（x）的值域為{y|-

2

≤y≤

2

，且y≠±1}．
（III）因為α是銳角，且tan

α

2

=

1

2

，
所以tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

4

3

，
從而sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
故f(α)=sinα+cosα═

7

5

．

點評：本題主要考查了三角函數中恒等變換的應用，兩角和公式，二倍角公式及同角三角函數基本關系的應用．考查了學生對三角函數基本公式的掌握．