Question

設tanα、tanβ是方程x²+3

3

x+4=0的兩根，且α、β∈（-

π

2

，

π

2

），則α+β的值為（　　）

• A、-

  2π

  3

• B、

  π

  3

• C、

  π

  3

  或-

  2π

  3

• D、-

  π

  3

  或

  2π

  3

Answer 1

分析：由tanα，tanβ是方程x²+3

3

x+4=0的兩個根，根據韋達定理表示出兩根之和與兩根之積，表示出所求角度的正切值，利用兩角和的正切函數公式化簡后，將表示出的兩根之和與兩根之積代入即可求出tan（α+β）的值，然后根據兩根之和小于0，兩根之積大于0，得到兩根都為負數，根據α與β的范圍，求出α+β的范圍，再根據特殊角的三角函數值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．

解答：解：依題意得tanα+tanβ=-3

3

＜0，tanα•tanβ=4＞0，
∴tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

-3 3

1-4

=

3

．
易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（-

π

2

，

π

2

），
∴α∈（-

π

2

，0），β∈（-

π

2

，0），
∴α+β∈（-π，0），
∴α+β=-

2π

3

．
故選A．

點評：此題考查學生靈活運用韋達定理及兩角和的正切函數公式化簡求值，是一道中檔題．本題的關鍵是找出α+β的范圍．