Question

若函數f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）有兩個零點，則實數a的取值范圍是（　　）

A．{a|a＞1}

B．{a|a≥2}

C．{a|0＜a＜1}

D．{a|1＜a＜2}

Answer 1

分析：由題意可得函數y=a^x（a＞0，且a≠1）與函數y=x+a的圖象有兩個交點，當0＜a＜1時兩函數只有一個交點，不符合條件； 當a＞1時，因為函數y=a^x（a＞1）的圖象過點（0，1），
而直線y=x+a所過的點（0，a）一定在點（0，1）的上方，由此求得實數a的取值范圍．

解答：解：設函數y=a^x（a＞0，且a≠1）和函數y=x+a，則函數f（x）=a^x-x-a（a＞0且a≠1）有兩個零點，
就是函數y=a^x（a＞0，且a≠1）與函數y=x+a的圖象有兩個交點，由圖象可知當0＜a＜1時兩函數只有一個交點，不符合條件．
當a＞1時，因為函數y=a^x（a＞1）的圖象過點（0，1），而直線y=x+a所過的點（0，a），此點一定在點（0，1）的上方，所以一定有兩個交點．
所以實數a的取值范圍是{a|a＞1}．
故選A．

點評：本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．