Question

已知：在函數(shù)f（x）=mx³-x的圖象上，以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為．
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整數(shù)k，使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數(shù)k；如果不存在，請說明理由；
（3）求證：（x∈R，t＞0）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)f（x）=mx³-x，可求出f'（x）的解析式，根據(jù)以N（1，n）為切點(diǎn)的切線的傾斜角為，構(gòu)造方程可以求出m的值，進(jìn)而求出n值，
（2）由（1）中結(jié)論，我們可以求出函數(shù)的解析式，由于f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立，我們可以求出x∈[-1，3]的最大值，進(jìn)而確定滿足條件的k值；
（3）方法一：根據(jù)（1）中函數(shù)的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的值域和基本不等式，我們分別求出|f（sinx）+f（cosx）|的最大值和的最小值，比照后即可得到答案．
方法二：根據(jù)（2）的結(jié)論，我們可以確定出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合絕對值的性質(zhì)和基本不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性可以結(jié)論．
解答：解：（1）f'（x）=3mx²-1，依題意，得f'（1）=，即3m-1=1，．…（2分）
∵f（1）=n，∴．…（3分）
（2）令f'（x）=2x²-1=0，得．…（4分）
當(dāng)時，f'（x）=2x²-1＞0；
當(dāng)時，f'（x）=2x²-1＜0；
當(dāng)時，f'（x）=2x²-1＞0．
又，，，f（3）=15．
因此，當(dāng)x∈[-1，3]時，．…（7分）
要使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1993=2008．
所以，存在最小的正整數(shù)k=2008，使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立．…（9分）
（3）方法一：|f（sinx）+f（cosx）|======．…（11分）
又∵t＞0，∴，．
∴==．…（13分）
綜上可得，（x∈R，t＞0）．…（14分）
方法二：由（2）知，函數(shù)f（x）在[-1，]上是增函數(shù)；在[，]上是減函數(shù)；在[，1]上是增函數(shù)．
又，，，．
所以，當(dāng)x∈[-1，1]時，，即．
∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴，．
∴．…（11分）
又∵t＞0，∴，且函數(shù)f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)．
∴．…（13分）
綜上可得，（x∈R，t＞0）．…（14分）
點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是不等式的證明，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，直線的傾斜角，其中根據(jù)已知條件，求出函數(shù)的解析式，并分析出函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．