Question

已知：在函數f（x）=mx³-x的圖象上，以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為．
（1）求m，n的值；
（2）是否存在最小的正整數k，使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立？如果存在，請求出最小的正整數k；如果不存在，請說明理由；
（3）求證：（x∈R，t＞0）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數f（x）=mx³-x，可求出f'（x）的解析式，根據以N（1，n）為切點的切線的傾斜角為，構造方程可以求出m的值，進而求出n值，
（2）由（1）中結論，我們可以求出函數的解析式，由于f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立，我們可以求出x∈[-1，3]的最大值，進而確定滿足條件的k值；
（3）方法一：根據（1）中函數的解析式，根據三角函數的值域和基本不等式，我們分別求出|f（sinx）+f（cosx）|的最大值和的最小值，比照后即可得到答案．
方法二：根據（2）的結論，我們可以確定出函數的單調性，結合絕對值的性質和基本不等式，利用函數的單調性可以結論．
解答：解：（1）f'（x）=3mx²-1，依題意，得f'（1）=，即3m-1=1，．…（2分）
∵f（1）=n，∴．…（3分）
（2）令f'（x）=2x²-1=0，得．…（4分）
當時，f'（x）=2x²-1＞0；
當時，f'（x）=2x²-1＜0；
當時，f'（x）=2x²-1＞0．
又，，，f（3）=15．
因此，當x∈[-1，3]時，．…（7分）
要使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立，則k≥15+1993=2008．
所以，存在最小的正整數k=2008，使得不等式f（x）≤k-1993對于x∈[-1，3]恒成立．…（9分）
（3）方法一：|f（sinx）+f（cosx）|======．…（11分）
又∵t＞0，∴，．
∴==．…（13分）
綜上可得，（x∈R，t＞0）．…（14分）
方法二：由（2）知，函數f（x）在[-1，]上是增函數；在[，]上是減函數；在[，1]上是增函數．
又，，，．
所以，當x∈[-1，1]時，，即．
∵sinx，cosx∈[-1，1]，∴，．
∴．…（11分）
又∵t＞0，∴，且函數f（x）在[1，+∞）上是增函數．
∴．…（13分）
綜上可得，（x∈R，t＞0）．…（14分）
點評：本題考查的知識點是不等式的證明，導數的幾何意義，利用導數研究函數的單調性，直線的傾斜角，其中根據已知條件，求出函數的解析式，并分析出函數的性質是解答本題的關鍵．