Question

（本小題滿分14分）

已知函數；．

（1）當時，求函數f（x）在上的值域；

（2）若對任意，總有成立，求實數的取值范圍；

（3）若（為常數），且對任意，總有成立，求M的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）f（x）在的值域為

（2）實數的取值范圍為

（3）當時，M的取值范圍是；

當時，M的取值范圍是

【解析】解：（1）當時，

-因為f（x）在上遞減，-----------------2分

所以，即f（x）在的值域為----------------4分

（法二），

，對稱軸，

時為增函數，---------------2分

，f（x）在的值域為------------------4分

   （2）由題意知，在上恒成立。

，    

∴在上恒成立

∴  -----------------------------5分

設，，，由得 t≥1，

設，,

   （可用導數方法證明單調性：）

所以在上遞減，在上遞增，-------------------------------7分

   在上的最大值為， 

在上的最小值為 

所以實數的取值范圍為------------------------------------9分

   （3），

∵ m>0  ，     

∴ 在上遞減，--------------------------10分

∴   

即----------------------------------------11分

①當，即時，，

此時  ，-----------------------------------------------------------12分

②當，即時，，

此時  ，---------------------------------------------------------13分

綜上所述，當時，M的取值范圍是；

當時，M的取值范圍是-----------------------------14分