Question

在線段[0，1]上任意投三個點，問由0至1三個點的三條線段，能構成三角形與不能構成三角形的兩個事件中，哪一個事件的概率大？

Answer 1

分析：設三條線段的長分別為x、y、1-x-y，分別建立所有的基本事件滿足不等式組和三條線段能構成三角形事件滿足的不等式組，在平面直角坐標系作出不等式組對應的平面區域，得到如圖的△OAB與△CDE，計算出△CDE與△OAB的面積比，可得三條線段能構成三角形的概率P（A）=

1

4

，進而得到三條線段不能構成三角形的概率，由此即可得到本題的答案．

解答：解：設三條線段的長分別為x、y、1-x-y
則所有的基本事件滿足不等式組

0＜x＜1 0＜y＜1 0＜x+y＜1

，
對應如圖坐標系中的三角形OAB及其內部；
事件A=“三條線段能構成三角形”，
事件A滿足不等式組

x+y＞1-x-y x+(1-x-y)＞y y+(1-x-y)＞x

，化簡得

x+y＞ 1 2 y＜ 1 2 x＜ 1 2

對應如圖坐標系中的三角形CDE及其內部
∵C、D、E分別為三角形OAB各邊的中點，
∴三角形CDE與三角形OAB的面積比為

S△CDE

S△OAB

=

1

4

因此，三條線段能構成三角形的概率P（A）=

S△CDE

S△OAB

=

1

4

從而三條線段不能構成三角形的概率P（

.

A

）=1-P（A）=

3

4

答：能構成三角形與不能構成三角形的兩個事件中，不能構成三角形事件的概率大．

點評：本題給出線段[0，1]上兩個點將線段分成三條線段，求三條線段能構成三角形的概率．著重考查了二元一次不等式表示的平面區域和幾何概型及其應用等知識，屬于中檔題．