Question

在數列{a_n}中，a1=2，anan+1-2an+1=0，bn=

2

an-1

．
（1）求證：{b_n}為等差數列，并求b_n；
（2）若數列{c_n}滿足c1+

c2

3

+

c3

32

+…+

cn

3n-1

=bn，求數列{nc_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用a_na_n+1-2a_n+1=0，可得an+1=2-

1

an

．又bn=

2

an-1

．再證明b_n+1-b_n是一個常數即可．
（2）利用通項公式與前n項和公式可得c_n，再利用“錯位相減法”即可得出T_n．

解答：解：（1）∵a_na_n+1-2a_n+1=0，∴an+1=2-

1

an

．
又bn=

2

an-1

．
∴bn+1-bn=

2

an+1-1

-

2

an-1

=

2

1- 1 an

-

2

an-1

=

2an-2

an-1

=2，
∴數列{b_n}是以b1=

2

a1-1

=2為首項，2為公差的等差數列．
∴b_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）當n=1時，c₁=b₁=2；
當n≥2時，聯立

c1+ c2 3 + c3 32 +…+ cn 3n-1 =2n c1+ c2 3 + c3 32 +…+ cn-1 3n-2 =2n-2

，得

cn

3n-1

=2，
∴cn=2•3n-1(n≥2)，當n=1時也成立．
∴cn=2•3n-1(n≥1)，
ncn=2n•3n-1，
∴T_n=2（1+2•3+3•3²+…+n•3^n-1），
3T_n=2[3+2•3²+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ]，
∴-2T_n=2（1+3+3²+…+3^n-1-n•3ⁿ）=2(

3n-1

3-1

-n•3n)，
∴T_n=n•3n-

1

2

(3n-1)=(n-

1

2

)•3n+

1

2

．

點評：本題考查了等差數列的定義及其通項公式、等比數列的前n項和公式、a_n與其前n項和公式S_n的關系、“錯位相減法”等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．