Question

二次函數y=f（x）滿足：①f（0）=1；②f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在區間[-1，1]上的最大值和最小值；

Answer 1

分析：（1）先由f（0）=1，求得c，再由②f（x+1）-f（x）=2x．用待定系數法求得其解析式．
（2）先配方，求出其對稱軸，再根據對稱軸與區間的關系，求得最值．

解答：解：（1）設y=ax²+bx+c（a≠0）（1分）
由f（0）=1得，c=1（2分）
因為f（x+1）-f（x）=2x所以a（x+1）²+b（x+1）-ax²-bx=2x，
即2ax+a+b=2x（7分）
所以

2a=2 a+b=0

?

a=1 b=-1

（9分）
所以f（x）=x²-x+1（10分）
（2）f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

，x∈[-1，1]（12分）
當x=

1

2

時，ymin=

3

4

，（14分）
當x=-1時，y_max=3．（16分）

點評：本題主要考查用待定系數法求二次函數解析式和用配方法來研究二次函數的單調性及最值問題．