Question

在一次珠寶展覽會上，某商家展出一套珠寶首飾，第一件首飾是1顆珠寶，第二件首飾是由6顆珠寶構成如圖1所示的正六邊形，第三件首飾是由15顆珠寶構成如圖2所示的正六邊形，第四件首飾是由28顆珠寶構成如圖3所示的正六邊形，第五件首飾是由45顆珠寶構成如圖4所示的正六邊形，以后每件首飾都在前一件上，按照這種規律增加一定數量的珠寶，使它構成更大的正六邊形，依此推斷第6件首飾上應有

 

顆珠寶；則前n件首飾所用珠寶總數為

 

顆．（結果用n表示）

Answer 1

分析：由題意可知a₁，a₂，a₃，a₄，a₅的值，則a₂-a₁=5，a₃-a₂=9，a₄-a₃=13，a₅-a₄=17，猜想a₆-a₅=21，從而得a₆的值和a_n-a_n-1=4n-3；所以（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+（a₅-a₄）+（a₆-a₅）+…+（a_n-a_n-1）=a_n-a₁求得通項公式a_n，從而求得前n項和s_n．

解答：解：由題意，知a₁=1，a₂=6，a₃=15，a₄=28，a₅=45，a₆=66，…；
∴a₂-a₁=5，a₃-a₂=9，a₄-a₃=13，a₅-a₄=17，a₆-a₅=21，…，a_n-a_n-1=4n-3；
∴（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+（a₄-a₃）+（a₅-a₄）+（a₆-a₅）+…+（a_n-a_n-1）
=a_n-a₁=5+9+13+17+21+…+（4n-3）=

(n-1)(5+4n-3)

2

=2n²-n-1；
∴a_n=2n²-n，其前n項和為s_n=2（1²+2²+3²+…+n²）-（1+2+3+…+n）
=2×

n(n+1)(2n+1)

6

-

n(n+1)

2

=

4n3+3n2-n

6

．
故答案為：66，

4n3+3n2-n

6

．

點評：本題考查了數列的遞推關系以及求和公式的綜合應用，解題時要探究數列的遞推關系，得出通項公式，并能正確求和．