Question

甲、乙、丙三人進行某項比賽，每局有兩人參加，沒有平局，在一局比賽中，甲勝乙的概率為

3

5

，甲勝丙的概率為

4

5

，乙勝丙的概率為

3

5

，比賽的規則是先由甲和乙進行第一局的比賽，然后每局的獲勝者與未參加此局比賽的人進行下一局的比賽，在比賽中，有人獲勝兩局就算取得比賽的勝利，比賽結束．
（1）求只進行兩局比賽，甲就取得勝利的概率；
（2）求只進行兩局比賽，比賽就結束的概率；
（3）求甲取得比賽勝利的概率．

Answer 1

分析：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，甲勝乙的概率和甲勝丙的概率得到甲勝利的概率，即只進行兩局比賽，甲就取得勝利的概率．
（2）只進行兩局比賽，比賽就結束包含兩種情況，一是甲勝乙且甲勝丙，二是乙勝甲且乙勝丙，這兩個事件是互斥的，根據相互獨立事件和互斥事件的概率公式得到結果．
（3）甲取得比賽勝利共有三種情形：若甲勝乙，甲勝丙；若甲勝乙，甲負丙，則丙負乙，甲勝乙；若甲負乙，則乙負丙，甲勝丙，甲勝乙，根據相互獨立事件的概率公式得到結果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個相互獨立事件同時發生的概率，
∵甲勝乙的概率為

3

5

，甲勝丙的概率為

4

5

∴只進行兩局比賽，甲就取得勝利的概率為：P1=

3

5

×

4

5

=

12

25

.
（2）只進行兩局比賽，比賽就結束包含兩種情況，
一是甲勝乙且甲勝丙，二是乙勝甲且乙勝丙，
這兩個事件是互斥的
∴概率為：P2=

3

5

×

4

5

+

2

5

×

3

5

=

18

25

.
（3）甲取得比賽勝利共有三種情形：
若甲勝乙，甲勝丙，則概率為

3

5

×

4

5

=

12

25

；
若甲勝乙，甲負丙，則丙負乙，甲勝乙，概率為

3

5

×

1

5

×

3

5

×

3

5

=

27

625

；
若甲負乙，則乙負丙，甲勝丙，甲勝乙，概率為

2

5

×

2

5

×

4

5

×

3

5

=

48

625

.
∴甲獲勝的概率為

12

25

+

27

625

+

48

625

=

3

5

.

點評：考查運用概率知識解決實際問題的能力，相互獨立事件是指，兩事件發生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發生的事件．