Question

已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線相切．

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）設直線與圓相交于兩點，求實數的取值范圍；

（Ⅲ） 在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數，使得弦的垂直平分線過點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以 ，即．因為為整數，故．

故所求圓的方程為． …………………………………4分

（Ⅱ）把直線即．代入圓的方程，消去整理，得

．

由于直線交圓于兩點，故．

即，由于，解得．

所以實數的取值范圍是．………………………………9分

（Ⅲ）設符合條件的實數存在，由于，則直線的斜率為

的方程為，即

由于垂直平分弦AB，故圓心必在上，

所以，解得。由于，故存在實數

使得過點的直線垂直平分弦AB

【解析】略