Question

已知半徑為的圓的圓心在軸上，圓心的橫坐標是整數，且與直線相切．　　　

（1）求圓的方程；

（2）設直線與圓相交于兩點，求實數的取值范圍；

（3） 在（Ⅱ）的條件下，是否存在實數，使得弦的垂直平分線過點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設圓心為（）．由于圓與直線相切，且半徑為，所以 ，即．因為為整數，故．

故所求圓的方程為． …………………………………4分

（Ⅱ）把直線即．代入圓的方程，消去整理，得

．

由于直線交圓于兩點，故．

即，由于，解得．

所以實數的取值范圍是．………………………………………8分

（3）設符合條件的實數存在，由于，則直線的斜率為，

的方程為， 即．

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以，解得．由于，

故存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．……………12分

【解析】此題考查了直線與圓相交的性質，以及直線與圓的位置關系，涉及的知識有：點到直線的距離公式，一元二次方程根的判別式與解的關系，一元二次不等式的解法，解題的關鍵是：當直線與圓相切時，圓心到直線的距離等于圓的半徑；將直線與圓的方程聯立消去y后，得到關于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的個數決定了直線與圓交點的個數（1）設圓心M的坐標為（m，0），且m是整數，由圓C與已知直線垂直，得到圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于m的方程，求出方程的解得到m的值，進而確定出圓C的方程；

（2）由直線ax-y+5=0，表示出y，代入圓的方程消去y，得到關于x的一元二次方程，根據直線與圓有兩個交點，得到根的判別式大于0，列出關于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍．

（3）假設存在利用推理得到結論。