Question

如圖，半徑為4的球O中有一內接圓柱．當圓柱的側面積最大時，球的表面積與該圓柱的側面積之差是

 

．

Answer 1

分析：設出圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，求出圓柱的側面積表達式，求出最大值，計算球的表面積，即可得到兩者的差值．

解答：解：設圓柱的上底面半徑為r，球的半徑與上底面夾角為α，則r=4cosα，圓柱的高為8sinα，圓柱的側面積為：32πsin2α，當且僅當α=

π

4

時，sin2α=1，圓柱的側面積最大，圓柱的側面積為：32π，球的表面積為：64π，球的表面積與該圓柱的側面積之差是：32π．
故答案為：32π

點評：本題是基礎題，考查球的內接圓柱的知識，球的表面積，圓柱的側面積的最大值的求法，考查計算能力，常考題型．