Question

如圖，A，B，C是直線l上三點，P是直線l外一點，已知AB=BC=a，∠APB=90°，∠BPC=45°，記∠PBA=θ，則

PA

•

PC

=

 

．（用a表示）

Answer 1

分析：三角形ABP是直角三角形，求出|

PA

|、|

PB

|，再有正弦定理求|

PC

|，結合余弦定理，求出θ的余弦值，求數量積即可．

解答：解：|

PA

|=asinθ，|

PB

|=acosθ，|

PC

|=sin(π-θ)

a

sin45°

=

2

asinθ，
且|

PC

|2=|

PB

|2+|

BC

|2-2|

PB

||

BC

|cos(π-θ)=a²+a²cos²θ+2a²cos²θ
=a²+3a²cos²θ，∴2a²sin²θ=a²+3a²cos²θ，
解得sin²θ=

4

5

，
則

PA

•

PC

=|

PA

||

PC

|cos135°= -

2

a2sin2θ 

2

2

=-

4

5

a2，
故答案為：-

4

5

a2．

點評：本題考查平面向量數量積，正弦定理，余弦定理等知識，是綜合題．