Question

如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中點，G是AE，DF的交點．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）求證：BD⊥平面CDE．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證GH∥平面CDE，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證GH與平面CDE內一直線平行，而G是AE，DF的交點，G是AE中點，又H是BE的中點，則GH∥AB，而AB∥CD，則GH∥CD，CD?平面CDE，GH?平面CDE，滿足定理所需條件．
（2）欲證BD⊥平面CDE，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BD與平面CDE內兩相交直線垂直，根據平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，ED⊥AD，ED?平面ADEF，則ED⊥平面ABCD，從而ED⊥BD，BD⊥CD，CD∩ED=D，滿足定理所需條件．
解答：證明：（1）G是AE，DF的交點，∴G是AE中點，又H是BE的中點，
∴△EAB中，GH∥AB，（3分）∵AB∥CD，∴GH∥CD，
又∵CD?平面CDE，GH?平面CDE
∴GH∥平面CDE（7分）
（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交線為AD，
∵ED⊥AD，ED?平面ADEF
∴ED⊥平面ABCD，（10分）
∴ED⊥BD，
又∵BD⊥CD，CD∩ED=D
∴BD⊥平面CDE．（14分）
點評：本題主要考查線面平行的判定定理和線面垂直的判定定理．考查對基礎知識的綜合應用能力和基本定理的掌握能力．