【題目】請你設計一個包裝盒．如圖所示，ABCD是邊長為60 cm的正方形硬紙片，切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形，再沿虛線折起，使得A，B，C，D四個點重合于圖中的點P，正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒．E、F在AB上，是被切去的一個等腰直角三角形斜邊的兩個端點．設AE＝FB＝x(cm)．
(1)若廣告商要求包裝盒的側面積S(cm2)最大，試問x應取何值？
(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大，試問x應取何值？并求出此時包裝盒的高與底面邊長的比值．
【答案】(1) 當x＝15時，S取得最大值．(2) x＝20，包裝盒的高與底面邊長的比值為
【解析】試題分析：（1）先設包裝盒的高為
，底面邊長為
，寫出
， 
與
的關系式，并注明
的取值范圍，再利用側面積公式表示出包裝盒側面積
關于
的函數解析式，最后求出何時它取得最大值即可；
（2）利用體積公式表示出包裝盒容積
關于
的函數解析式，利用導數知識求出何時它取得的最大值即可．
設包裝盒的高為，底面邊長為
由已知得
（1）∵
2分
∴當
時， 
取得最大值 3分
（2）根據題意有
5分
∴
。
由
得，
(舍)或
。
∴當
時
；當
時
7分
∴當
時取得極大值，也是最大值，此時包裝盒的高與底面邊長的比值為
即包裝盒的高與底面邊長的比值為
10分．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某大學為調研學生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學生中隨機抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進行評分，滿分均為60分．
整理評分數據，將分數以
為組距分成
組：
，
，
，
，
，
，得到A餐廳分數的頻率分布直方圖，和B餐廳分數的頻數分布表：
B餐廳分數頻數分布表 | |
分數區間 | 頻數 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對A餐廳評分低于30的人數；
（Ⅱ）從對B餐廳評分在
范圍內的人中隨機選出2人，求2人中恰有1人評分在范圍內的概率；
（Ⅲ）如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會選擇哪一家？說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】①設三個正實數a ， b ， c ， 滿足
，求證：a ， b ， c一定是某一個三角形的三條邊的長；
②設n個正實數 a1,a2,...an 滿足不等式 
(其中 
)，求證： a1,a2,...an 中任何三個數都是某一個三角形的三條邊的長.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，直線AB的方程為3x﹣2y﹣1=0，直線AC的方程為2x+3y﹣18=0．直線BC的方程為3x+4y﹣m=0（m≠25）．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）當△ABC的BC邊上的高為1時，求m的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，點
是橢圓
：
上任意一點，線段
的垂直平分線
交于點
，點的軌跡記為曲線
.
（Ⅰ）求曲線的方程；
（Ⅱ）過的直線交曲線于不同的
，
兩點,交
軸于點
，已知
，
，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
（
）的左焦點為
，左準線方程為
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）已知直線
交橢圓
于
， 
兩點.
①若直線
經過橢圓
的左焦點
，交
軸于點
，且滿足
， 
.求證： 
為定值；
②若
（
為原點），求
面積的取值范圍.
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