【題目】設函數
。
（1）若曲線
在點
處的切線與直線
垂直，求
的單調遞減區間和極小值（其中
為自然對數的底數）；
（2）若對任意
恒成立，求
的取值范圍。
【答案】（1）單調遞減區間為
，極小值為2（2）
【解析】試題分析：（1）因為切線的斜率為0，所以由導數幾何意義得
，求導列式
，得
，從而導函數零點為
，列表分析區間符號得
在
上單調遞減，在
上單調遞增，再由極值定義知當
時， 
取得極小值
．（2）分類變量得
，因此構造函數
則
在
上單調遞減，也即
在
上恒成立，再分類變量得
得最大值，因此
試題解析：（1）由條件得
，
∵曲線
在點
處的切線與直線
垂直，∴此切線的斜率為0，即
，有
，得
，
∴
，由
得
，由
得
．
∴
在
上單調遞減，在
上單調遞增，當
時， 
取得極小值
．
故
的單調遞減區間為
，極小值為2
（2）條件等價于對任意
恒成立，
設
．
則
在
上單調遞減，
則
在
上恒成立，
得
恒成立，
∴
（對
僅在
時成立），
故
的取值范圍是
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（I）求函數
的單調區間；
（II）若函數
的圖像在點
處的切線的傾斜角為
，問：
在什么范圍取值時，對于任意的
，函數
在區間
上總存在極值？
（III）當
時，設函數
，若在區間
上至少存在一個
，使得
成立，試求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝
。
(1)求證：平面EBC⊥平面EBD；
(2)設M為線段EC上一點，且3EM＝EC，試問在線段BC上是否存在一點T，使得MT∥平面BDE，若存在，試指出點T的位置；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線C：y2＝4x，過點A(1，2)作拋物線C的弦AP，AQ.
(1)若AP⊥AQ，證明：直線PQ過定點，并求出定點的坐標；
(2)假設直線PQ過點T(5，－2)，請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個數，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖（1），（2），（3），（4）為最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮.現按同樣的規律刺繡（小正方形的擺放規律相同），設第
個圖形包含
個小正方形.
（1）求出
的值；
（2）利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出
與
之間的關系式，并根據你得到的關系式求出
的表達式.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝aln x＋
(a∈R)．
(1)當a＝1時，求f(x)在x∈[1，＋∞)內的最小值；
(2)若f(x)存在單調遞減區間，求a的取值范圍；
(3)求證ln(n＋1)> 
＋
＋
＋…＋
(n∈N*)．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱柱
中，底面
是矩形，且
， 
， 
，若
為
的中點，且
．
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）線段
上是否存在一點
，使得二面角
的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，說明理由．
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