Question

已知向量

b

與向量

a

=(2，-1，2)共線，且滿足

a

•

b

=18，(k

a

+

b

)⊥(k

a

-

b

)，則

b

=

 

，k=

 

．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是空間向量的共線與垂直及數量積運算，我們要求向量

b

，我們可以根據向量

b

與向量

a

=(2，-1，2)共線，且滿足

a

•

b

=18，結合向量共線的性質，構造方程進行解答，再由(k

a

+

b

)⊥(k

a

-

b

)結合向量垂直的性質，構造關于K的方程，解方程即可求出K值．

解答：解：∵向量

b

與向量

a

=(2，-1，2)共線，
且

a

•

b

=18，
∴向量

b

與向量

a

=(2，-1，2)同向
設

b

=λ

a

(λ＞0)，則

a

•

b

=18=λ|

a

|2
解得：λ=2
則

b

=（4，-2，4）
若(k

a

+

b

)⊥(k

a

-

b

)
則(k

a

+

b

)•(k

a

-

b

)
=(k+2)(k-2)

a

2=0
解得：k=±2
故答案為：（4，-2，4），±2

點評：如果兩個非量平面向量平行（共線），則它們的方向相同或相反，此時他們的夾角為0或π．當它們同向時，夾角為0，此時向量的數量積，等于他們模的積；當它們反向時，夾角為π，此時向量的數量積，等于他們模的積的相反數．如果兩個向量垂直，則它們的夾角為

π

2

，此時向量的數量積，等于0．判斷兩個向量的關系（平行或垂直）或是已知兩個向量的關系求未知參數的值，要熟練掌握向量平行（共線）及垂直的坐標運算法則，即“兩個向量若平行，交叉相乘差為0，兩個向量若垂直，對應相乘和為0”．