Question

設點C為曲線y=

2

x

（x＞0）上任一點，以點C為圓心的圓與x軸交于點E、A，與y軸交于點E、B．
（1）證明多邊形EACB的面積是定值，并求這個定值；
（2）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若|EM|=|EN|，求圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）由題意，由于以點C為圓心的圓與x軸交于點E、A，與y軸交于點E、B，所以先得到點E為原點，利用方程的思想設出圓心C的坐標，進而利用面積公式求解；
（2）由于|EM|=|EN|此可以轉化為點E應在線段MN的垂直平分線上，利用圓的性質可得EC與MN垂直建立t的方程求解即可．

解答：解：
（1）證明：點C(t，

2

t

)（t＞0），
因為以點C為圓心的圓與x軸交于點E、A，與y軸交于點E、B．
所以點E是直角坐標系原點，即E（0，0）．
于是圓C的方程是(x-t)2+(y-

2

t

)2=t2+

4

t2

．則A(2t，0)，B(0，

4

t

)．
由|CE|=|CA|=|CB|知，圓心C在Rt△AEB斜邊AB上，
于是多邊形EACB為Rt△AEB，
其面積S=

1

2

|EA|•|EB|=

1

2

•2t•

4

t

=4．
所以多邊形EACB的面積是定值，這個定值是4．
（2）若|EM|=|EN|，則E在MN的垂直平分線上，即EC是MN的垂直平分線，kEC=

2 t

t

=

2

t2

，k_MN=-2．
所以由k_EC•k_MN=-1，得t=2，
所以圓C的方程是（x-2）²+（y-1）²=5．

點評：（1）重點考查了利用方程的思想用以變量t寫出圓的方程，判斷出圓心O在AB上，故四邊形為直角三角形，還考查了三角形的面積公式；
（2）重點考查了垂直平分線的等價式子，還考查了方程的求解思想，及兩直線垂直的實質解直線的斜率互為負倒數．