Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E為棱AB的中點．
（1）證明：D₁⊥A₁D；
（2）求二面角D₁-EC-D的大小；
（3）求點D到平面D₁EC的距離．

Answer 1

分析：（1）連接A₁D，AD₁，根據長方體的幾何特征，我們易得AD₁是D₁E在平面AD₁內的射影，由AD=A₁A，可得四邊形A₁DD₁A為正方形，進而根據三垂線定理可得D₁E⊥A₁D；
（2）連接DE，根據等腰直角三角形的性質，及線面垂直的判定和性質，可得DE⊥EC，D₁E⊥EC，進而由∠D₁ED即為二面角D₁-EC-D的平面角，解三角形D₁ED即可得到二面角D₁-EC-D的大小；
（3）過點D作DF⊥D₁E于F，結合（2）的結論，可證得DF⊥面D₁EC，即DF為點D到平面D₁EC的距離，根據等面積法，我們易解三角形D₁ED得到DF長．

解答：證明：（1）連接A₁D，AD₁，在長方體中，AE⊥平面AD₁
∴AD₁是D₁E在平面AD₁內的投影，
∵AD=A₁A
∴四邊形A₁DD₁A為正方形，
∴AD₁⊥A₁D，
由三垂線定理：
D₁E⊥A₁D，…（4分）
解：（2）連接DE，
∵E為AB的中點，
∴AD=AE，EB=BC
∴∠AED=∠BEC=45°
∴DE⊥EC
∴DD₁⊥平面ABCD
∴D₁E⊥EC
故∠D₁ED即為二面角D₁-EC-D的平面角
在△D₁ED中，DD₁=1，DE=

2

∴∴tan∠D1ED=

DD1

DE

=

2

2

故二面角D₁-EC-D的大小為arctan

2

2

…..（8分）
（3）過點D作DF⊥D₁E于F
由（2）可得EC⊥面D₁DE，有EC?面D₁EC
∴面D₁EC⊥面D₁DE
∴DF⊥面D₁EC
故DF為點D到平面D₁EC的距離…（10分）
∵D₁E²=DE²+DD₁²
∴D₁E=

3

，
DF=

DD1•DE

D1E

=

6

3

故點D到平面D₁EC的距離為

6

3

…（12分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，直線與平面垂直的性質，點到平面之間的距離，其中（1）的關鍵是使用三垂線定理，（2）的關鍵是證得∠D₁ED即為二面角D₁-EC-D的平面角，（3）的關鍵是證得DF為點D到平面D₁EC的距離．