Question

（本小題滿分12分）已知函數

（1）若是單調函數，求的取值范圍；

（2）若有兩個極值點，證明：

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）f(x)＝－lnx－ax²＋x，

f¢(x)＝－－2ax＋1＝－．                       …2分

令Δ＝1－8a．

當a≥時，Δ≤0，f¢(x)≤0，f(x)在(0，＋∞)單調遞減．              …4分

當0＜a＜時，Δ＞0，方程2ax²－x＋1＝0有兩個不相等的正根x₁，x₂，

不妨設x₁＜x₂，

則當x∈(0，x₁)∪(x₂，＋∞)時，f¢(x)＜0，當x∈(x₁，x₂)時，f¢(x)＞0，

這時f(x)不是單調函數．

綜上，a的取值范圍是[，＋∞)．                                  …6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當且僅當a∈(0，)時，f(x)有極小值點x₁和極大值點x₂，

且x₁＋x₂＝，x₁x₂＝．

f(x₁)＋f(x₂)＝－lnx₁－ax＋x₁－lnx₂－＋x₂

＝－(lnx₁＋lnx₂)－(x₁－1)－ (x₂－1)＋(x₁＋x₂)

＝－ln(x₁x₂)＋ (x₁＋x₂)＋1＝ln(2a)＋＋1．                       …9分

令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]，

則當a∈(0，)時，g¢(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)單調遞減，

所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即f(x₁)＋f(x₂)＞3－2ln2．                   …12分

【解析】本題考查函數的單調性和不等式的證明，考查學生利用求導研究函數性質的解題能力和分類討論思想的應用。第一問借助函數為單調函數進行轉化；第二問通過構造函數，證明函數的單調性分析得到函數的最值達到證明不等式的目的.