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求函數f(x)=sin2x+
3
sinxcosx在區間[
π
4
，
π
2
]上的最大值
3
2
3
2
．
分析：利用二倍角的正弦與余弦將f（x）=sin2x+
3
sinxcosx轉化為f（x）=sin（2x-
π
6
）+
1
2
，再利用正弦函數的性質即可求得在區間[
π
4
，
π
2
]上的最大值．
解答：解：∵f（x）=sin2x+
3
sinxcosx
=
1-cos2x
2
+
3
2
sin2x
=sin（2x-
π
6
）+
1
2
．
又x∈[
π
4
，
π
2
]，
∴2x-
π
6
∈[
π
3
，
5π
6
]，
∴sin（2x-
π
6
）∈[
1
2
，1]，
∴sin（2x-
π
6
）+
1
2
∈[1，
3
2
]．
即f（x）∈[1，
3
2
]．
故f（x）在區間[
π
4
，
π
2
]上的最大值為
3
2
．
故答案為：
3
2
．
點評：本題考查二倍角的正弦與余弦，考查輔助角公式，著重考查正弦函數的單調性與最值，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=sin2ωx+
3
sinωxcosωx（ω＞0）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為
π
2
．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調減區間；
（Ⅲ）若對任意x1，x2∈[0，
π
2
]都有|f（x1）-f（x2）|＜m，求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=sin2(
π
4
+x)+cos2x+
1
2
，x∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的最值與最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥
3
2
(x∈[0，π])成立的x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

附加題：已知函數f(x)=sin2ωx+
3
cosωx•cos(
π
2
-ωx)-
1
2
，(其中ω＞0)，且函數y=f（x）的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為
π
2
．
（Ⅰ）求f(
π
6
)的值；
（Ⅱ）若函數f(kx+
π
12
)(k＞0)在區間[-
π
6
，
π
3
]上單調遞增，求實數k的取值范圍；
（III）是否存在實數m使方程3f2（x）-f（x）+m=0在(
π
12
，
π
3
]內僅有一解，若存在，求出實數m的取值范圍，若不存在，說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)+1（ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象向左平移
π
6
個單位后，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）的單調遞減區間；
（Ⅲ）求函數f（x）在區間[0，
2π
3
]上的最值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網已知函數f(x)=sin2ωx+
3
sinωxsin(ωx+
π
2
)(ω＞0)的最小正周期為π．
（1）用“五點法”作函數y=f（x）（x∈[-
π
2
，
π
2
]）的圖象．
（2）求函數f（x）的單調減區間．

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