Question

【題目】定義：對于函數，若在定義域內存在實數，滿足，則稱為“局部奇函數”．

（1）已知二次函數，試判斷是否為定義域上的“局部奇函數”?若是，求出所有滿足的的值；若不是，請說明事由．

（2）若是定義在區間上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍．

（3）若為定義域上的“局部奇函數”，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）為“局部奇函數”；（2）；（3）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由已知中“局部奇函數”的定義，結合函數，可得結論；

（Ⅱ）若是定義在上的“局部奇函數”，則有解，即可求解實數的取值范圍；

（Ⅲ）若是定義域上的“局部奇函數”，則有解，使用換元法和根據二次函數的性質，即可得到實數的取值范圍；

試題解析：

（1）當，方程即，

，所以為“局部奇函數”．

（2）法一：當時，可化為，

∵有定義域為，所以方程在有解，

令，則，

∵在上為減函數，在上為增函數，

∴當時，，即，

∴．

法二：當時，可化為，

令，則關于的二次方程在上有解即可，

保證為“局部奇函數”，設．

①當方程在上只有一解時，

須滿足在或，

解得或舍去，

因為此時方程在區間有兩解，不符合這種情況．

②當方程在上有兩個不相等實根時，

須滿足，

解得，∴．

（3）當為定義域上的“局部奇函數”時，，

可化為，

令，則，，

從而在有解，即可保證為“局部奇函數”

令，則

①時，在有解，

即，解得．

②當，在有解等價于，

，解得．

綜上，，

∴的取值范圍是．