Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax（a∈R）．
（1）若曲線y=f（x）存在一條切線與直線y=x平行，求a的取值范圍；
（2）當0＜a＜2時，若f（x）在[a，2]上的最大值為﹣ ，求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）f′（x）= ﹣a，

若曲線y=f（x）存在一條切線與直線y=x平行，

則 ﹣a=1，即a= ﹣1有解，

由x＞0，得：a＞﹣1

（2）f′（x）= ﹣a，

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，

令f′（x）＜0，解得：x＞ ，

故f（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減，

①2≤ 即0＜a≤ 時，

f（x）在[a，2]遞增，f（x）max=f（2）=ln2﹣2a=﹣ ，

解得：a= ln2+ ＞ （舍）；

②a＜ ＜2即 ＜a＜1時，

f（x）在[a， ）遞增，在（ ，2]遞減，

故f（x）max=f（ ）=ln ﹣1=﹣ ，

解得：a= ，

③ ≤a，即1≤a＜2時，

f（x）在[a，2]遞減，f（x）max=f（a）=lna﹣a2=﹣ ，

函數n（a）=lna﹣a2，a∈[1，2），n′（a）= ﹣2a遞減，n′（1）=﹣1＜0，

故n（a）在[1，2）遞減，n（a）＜n（1）=﹣1＜﹣ ，

故方程lna﹣a2=﹣ 無解；

綜上a=

【解析】（1）求出函數的導數，得到關于a的函數式，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（2）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間，求出函數的最大值，得到關于a的方程，解出即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的最大(小)值與導數的相關知識，掌握求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．