Question

函數f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意x∈R，有f（x）＞0；②對任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）求證：f（x）在R上是單調增函數；
（3）若a＞b＞c＞0且b²=ac，求證：f（a）+f（c）＞2f（b）．

Answer 1

【答案】分析：（1）可采用賦值法，令x=0，y=2代入可求得f（0）的值；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，可令x₁=，，故p₁＜p₂，再判斷f（x₁）-f（x₂）的符號，從而可證其單調性；
（3）由（1）（2）可證f（b）＞1，f（a）=f（b•）=，f（c）=f（b•）=，從而可證得f（a）+f（c）=+＞2＞2=2f（b），問題即可解決．
解答：解：（1）∵對任意x∈R，有f（x）＞0，
∴令x=0，y=2得：f（0）=[f（0）]²⇒f（0）=1；
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁=，，故p₁＜p₂，
∵函數f（x）的定義域為R，并滿足以下條件：①對任意x∈R，有f（x）＞0；②對任意x，y∈R，有f（xy）=[f（x）]^y；③f（）＞1．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（）-f（）=-＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）是R上的單調增函數．
（3）由（1）（2）知，f（b）＞f（0）=1，
∴f（b）＞1，
∵f（a）=f（b•）=，f（c）=f（b•）=，
∴f（a）+f（c）=+＞2，
而a+c＞2=2=2b，
∴2＞2=2f（b），
∴f（a）+f（c）＞2f（b）．
點評：本題考查抽象函數及其應用，難點在于用單調函數的定義證明其單調遞增時“任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₁=，”這一步的靈活理解與應用，屬于難題．