Question

已知函數f（x）=3^x，且f^-1（18）=a+2，g（x）=3^ax-4^x的定義域為[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的單調區間，確定其單調性并用定義證明；
（3）求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先由函數f（x）=3^x且f^-1（18）=a+2解出3^a的值，整體代入g（x）=3^ax-4x中得到g（x）=2^x-4x，
（2）對g（x）=2^x-4x求導，用導數判斷函數在[-1，1]上的單調性；
（3）由（2）的結論根據其單調性求值域．

解答：解：（1）∵f（x）=3^x且f（a+2）=3^a+2=18，
∴3^a=2．
∴g（x）=3^ax-4^x=（3^a）^x-4^x，
∴g（x）=2^x-4^x．
（2）∵函數g（x）的定義域為[0，1]，令t=2^x，
∵x∈[0，1]，函數t在區間[0，1]上單調遞增，
且t∈[1，2]，則g（x）=t-t²在[1，2]上單調遞減，
∴g（x）在[0，1]上單調遞減．
證明如下：設x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，則
g（x₂）-g（x₁）
=2x2-4x2-2x1+4x1=(2x2-2x1)(1-2x2-2x1)
∵0≤x₁＜x₂≤1，
∴2x2＞2x1，
且1≤2x1＜2，1＜2x2≤2．
∴2＜2x1+2x2＜4．
∴-3＜1-2x1-2x2＜-1，可知(2x2-2x1)•(1-2x2-2x1)＜0．
∴g（x₂）＜g（x₁）．
∴函數g（x）在[0，1]上為減函數．
（3）∵g（x）在[0，1]上為減函數，
又x∈[0，1]，
故有g（1）≤g（x）≤g（0）．
∵g（1）=-2，g（0）=0，
∴函數g（x）的值域為[-2，0]．

點評：本題的考點是指數函數單調性的應用，考查運用指數函數的單調性求值域，合理的正確的轉化是求解成功的關鍵．