Question

如圖，某住宅小區在圍墻的墻角處有一矩形綠地ABCD，周圍均為荒地，開發商欲把墻角處改造擴建成一個更大的綠地三角形花園AEF，要求EF過點C，若AB長15m，AD長10m．
（1）要使綠地AEF的面積不超過400m²，則AE的長應在什么范圍內？
（2）若在改造擴建過程中，原綠地改造的費用為每平方100元，旁邊荒地改造的費用為每平方200元，則當AE的長度是多少時，開發商投入的費用最��？并求出最小費用．

Answer 1

分析：（1）設BE的長，求出DF的長，進而可得△AEF的面積，利用綠地AEF的面積不超過400m²，建立不等式，即可求得AE的范圍；
（2）由題意，荒地改造的面積最小時，開發商投入的費用最小，此時△AEF的面積最小．

解答：解：（1）設BE=xm，則DF=

150

x

m
∴AE=15+x，AF=

150

x

+10
∴△AEF的面積為

1

2

（15+x）（

150

x

+10）m²，
∵綠地AEF的面積不超過400m²，
∴

1

2

（15+x）（

150

x

+10）≤400
∴x²-50x+225≤0
∴5≤x≤45
∴20≤AE≤60
（2）由題意，荒地改造的面積最小時，開發商投入的費用最小，此時△AEF的面積最�。�
△AEF的面積為

1

2

（15+x）（

150

x

+10）=

1

2

(

2250

x

+10x+300)≥300，當且僅當

2250

x

=10x，即x=15，AE=30m時，
開發商投入的費用最小，最小為100×15×10+200×（300-150）=45000元．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查解不等式，考查基本不等式的運用，解題的關鍵是確定△AEF的面積．