Question

如圖，G為△ABC的重心，AD為BC邊上的中線．過G的直線MN分別交邊AB，AC于M，N兩點．設

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，記y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）的表達式及其定義域；
（2）設g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]）．若對任意的x1∈[

1

2

，1]，總存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）結合圖象，利用

AG

=

2

3

AD

=

1

3

(

AB

+

AC

)，通過

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，說明M，G，N三點共線，求出函數的解析式以及定義域．
（2）設函數f（x），g（x）的值域分別為A，B，則A⊆B，通過函數的解析式求出A，通過函數g（x）的導數，推出g（x）在[0，1]上單調遞增，求出B的范圍，通過

2a≤ 1 2 3a2+2a+1≥1

，求出a的取值范圍．

解答：解：（1）因為

AG

=

2

3

AD

=

1

3

(

AB

+

AC

)…（2分）
又

AM

=x

AB

，

AN

=y

AC

，所以

AG

=

1

3

(

1

x

AM

+

1

y

AN

)…（4分）
又M，G，N三點共線，所以

1

x

+

1

y

=3…（6分）
解之得：y=

x

3x-1

，x∈[

1

2

，1]…（8分）
（2）設函數f（x），g（x）的值域分別為A，B，則A⊆B，…（9分）
因為f(x)=

x

3x-1

=

1

3

(1+

1

3x-1

)，在x∈[

1

2

，1]上單調遞減，所以A=[

1

2

，1]…（10分）
（或由x，y的地位均等、對稱性可知）
因為g（x）=x³+3a²x+2a（x∈[0，1]），所以g'（x）=3x²+3a²≥0恒成立，
所以g（x）在[0，1]上單調遞增，…（12分）
所以B=[2a，3a²+2a+1]，…（13分）
從而

2a≤ 1 2 3a2+2a+1≥1

…（14分）
解得：a≤-

2

3

或0≤a≤

1

4

…（15分）
所以a的取值范圍是(-∞，-

2

3

]∪[0，

1

4

]…（16分）

點評：本題考查向量在幾何中的應用，函數恒成立問題的應用，考查轉化思想，計算能力．