Question

17.

    已知函數f(x)=x³+ax²+bx+c在x=-與x=1時都取得極值.

    (1)求a、b的值及函數f(x)的單調區間；

    (2)若對x∈［-1，2］，不等式f(x)＜c²恒成立，求c的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)=x³+ax²+bx+c，    f′(x)=3x²+2ax+b，

由f′(-)=a+b=0，    f′(1)=3+2a+b=0，得a=-，b=-2，

f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函數f（x）的單調區間如下表：

ｘ	（-∞， ）		（，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以函數f（x）的遞增區間為（-∞，）與（1，+∞）；遞減區間為（，1）.

（2）f（x）=x³-x²-2x+c

x∈［-1，2］，當x=-時，f（x）=+c為極大值，

而f（2）=2+c，則f（2）=2+c為最大值.

要使f（x）＜c²（x∈［-1，2］）恒成立，只須c²＞f（2）=2+c，

解得c＜-1或c＞2.