Question

動點P到定點F（1，0）和定直線x=3的距離之和為4；
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）過點F做斜率為k的直線交P點的軌跡于AB兩點|AB|=f（k），求f（k）的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題設條件動點P到定直線l：x=3與到定點F（1，0）的距離之和為4，由此等量關系建立方程求得動點P的軌跡方程；
（2）設直線AB的方程為y=k（x-1），易求得曲線y²=4x與曲線y²=-12（x-4）的交點為(3，2

3

)和(3，-2

3

)，從而可得到，當A、B兩點都在曲線y²=4x（0≤x≤3）上時，|k|≥

3

；當點A在曲線y²=4x（0≤x≤3）上，點B在曲線y²=-12（x-4）（3≤x≤4）上時，|k|≤

3

．進而分類討論即可．

解答：解：（1）設P（x，y），由題意有

(x-1)2+y2

+|x-3|=4
當x≥3時，有

(x-1)2+y2

+x-3=4，整理得y²=-12（x-4）；
當x＜3時，有

(x-1)2+y2

-x+3=4，整理得y²=4x
故點P的軌跡方程為y2=

4x(0≤x＜3) -12(x-4)(3≤x≤4)

（2）設直線AB的方程為y=k（x-1），易求得曲線y²=4x與曲線y²=-12（x-4）的交點為(3，2

3

)和(3，-2

3

)，從而可得到，當A、B兩點都在曲線y²=4x（0≤x≤3）上時，|k|≥

3

；當點A在曲線y²=4x（0≤x≤3）上，點B在曲線y²=-12（x-4）（3≤x≤4）上時，|k|≤

3

．
（i）當A、B兩點都在曲線y²=4x（0≤x≤3）上時，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y2=4x y=k(x-1)

，得k2x2-2(k2+2)x+k2=0，故x1+x2=-2+

4

k2

于是，|AB|=f(x)=2+x1+x2=4+

4

k2

(|k|≥

3

)，所以f(k)≤

16

3

，當且僅當|k|=

3

時取等號．
（ii）當點A在曲線y²=4x（0≤x≤3）上，點B在曲線y²=-12（x-4）（3≤x≤4）上時，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
當0＜|k|≤

3

時，由

y2=4x y=k(x-1)

，解得x1=1+

2-2 k2+1

k2

由

y2=-12(x-4) y=k(x-1)

，解得x2=1+

6 k2+1 -6

k2

因為曲線y²=4x（0≤x≤3）的準線為x=-1，焦點為F（1，0），曲線y²=-12（x-4）（3≤x≤4）的準線為x=7，焦點為F（1，0），所以|FA|=x₁+1，|FB|=7-x₂，所以|AB|=f(k)=|FA|+|FB|=8+x1-x2=8+

8-8 k2+1

k2

(0＜|k|≤

3

)
故f(k)≤

16

3

，當且僅當|k|=

3

時取等號．
當k=0時，易知|AB|=4．
綜上知，f（k）的最大值為

16

3

．

點評：本題以軌跡方程為載體，考查求軌跡方程，同時考查直線與曲線的位置關系．解題的關鍵是理解題意，找出等量關系，從而建立起關于動點P的坐標的方程，這是求軌跡方程時常用方法，也是一個常規方法，應總結此方法的步驟規律