Question

在直角坐標系xOy中，設動點P到定點F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，記P的軌跡為Γ．又直線AB的一個方向向量

d

=(1，2)且過點（1，0），AB與Γ交于A、B兩點，求|AB|的長．

Answer 1

分析：根據拋物線的定義得動點P的軌跡Γ是拋物線，求出其方程為y²=4x．由直線方程的點斜式，算出直線AB的方程為y=2x-2，再將直線方程與拋物線方程聯解，并結合拋物線的定義加以計算，可得線段AB的長．

解答：解：∵動點P到定點F（1，0）的距離與到定直線l：x=-1的距離相等，
∴由拋物線的定義，可得動點P的軌跡Γ是拋物線，
設其方程為y²=2px，由

p

2

=1得2p=4，
∴拋物線的方程為y²=4x，即為曲線Γ的方程．
∵直線AB的一個方向向量

d

=(1，2)，過點（1，0），
∴直線AB的斜率k=2，方程為y=2（x-1），即y=2x-2．
設直線l與曲線Γ的交點坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=2x-2 y2=4x

，整理得x²-3x+1=0，可得x₁+x₂=3．
∴根據拋物線的定義，可得|AB|=x₁+x₂+p=2+x₁+x₂=5．

點評：本題給出動點滿足的條件，求動點的軌跡并依此求直線被曲線截得的弦長．著重考查了拋物線的定義與標準方程、直線與圓錐曲線的位置關系等知識，屬于中檔題．