Question

【題目】已知直線l：y=﹣x+1與橢圓C： =1（a＞b＞0））相交于不同的兩點A、B，且線段AB的中點P的坐標為（ ， ）

（1）求橢圓C離心率；
（2）設O為坐標原點，且2|OP|=|AB|，求橢圓C的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：將直線y=1﹣x代入橢圓方程，可得

（b2+a2）x2﹣2a2x+a2﹣a2b2=0，

則x1+x2= ，

由AB的中點P的坐標為（ ， ），可得

= ，即為a2=2b2，

可得c2=a2﹣b2= a2，

則橢圓C離心率為e= =

（2）解：由（1）可得，

△=4a4﹣4（b2+a2）（a2﹣a2b2）＞0，

可得a2+b2＞1，即b2＞ ，

x1+x2= ，x1x2= = ，

由2|OP|=|AB|，可得：

2 = ，

解得b2= （滿足△＞0），即有a2= ，

可得橢圓方程為 =1

【解析】（1）將直線方程代入橢圓方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結合離心率公式計算即可得到所求值；（2）運用韋達定理和弦長公式，以及兩點的距離公式，解方程即可得到a，b，進而得到橢圓方程．